La loi de Student est une loi d'échantillonnage. Elle trouve ses applications dans le domaine des tests sur la moyenne d'échantillons de lois normales.

La loi de Student est due à W.S. Gosset dit "Student" qui l'a mise au point à l'occasion de travaux pour le compte des brasseries Guinness à Dublin au début du 20ième siècle.

1. Expression algébrique de la loi de Student
2. Lecture de la table de la loi de Student
3. Distribution des moyennes d'échantillons
4. Intervalle de confiance d'une moyenne
5. Exemple d'application
   1. Construction d'un intervalle de confiance de la moyenne
   2. Calculs pratiques
   3. Exemple
6. Fiche d'essai

1. Expression algébrique de la loi de Student
   

   = fonction gamma t = variable de Student = nu = nombre de degrés de liberté =3,14159

   
   Graphique de la loi : cliquez ici
   
   Il existe une loi de Student par degré de liberté d'où la complexité de la table. Dans le cas d'un test de Student sur les moyennes le nombre de degrés de liberté n est égal à n-1 car on utilise une moyenne estimée dans les calculs.
   
2. Lecture de la table de la loi de Student
   
   A chaque ligne de la table correspond une loi de Student. la table fournit les valeurs positives de t pour des fractiles choisis. Les valeurs ngatives sont obtenues par symétrie.
   
3. Distribution des moyennes d'échantillons
   
   On montre, en effet, que les moyennes des échantillons issus d'un loi normale de moyenne m et d'écart-type obeissent à une loi de Studnt de moyenne m et d'écart-type .
   
   Graphiques :
   - distribution des valeurs de la population (N, M, ) : cliquez ici
   - distribution des moyennes des échantillons de taille n issus de la loi (N, M, ) : cliquez ici
   
   En pratique, on ne connait pas les paramètres de la loi de distribution de la population. On se propose alors de l'estimer par l'intermédiaire d'un échantillon qui peut être de taille réduite. Dans ce cas, on utilise les propriétés de la loi de Student pour déterminer un intervalle de confiance de la moyenne vraie m.
   Un risque est choisi. Il est le plus souvent de 5%.
   
   Nota : lorsque l'échantillon est de taille suffisante (n>30) et que l'on connait l'écart-type de la population, on peut utiliser une approximation de la loi de Student par une loi normale plus simple d'emploi.
   
   
4. Intervalle de confiance d'une moyenne
   
   Graphique de la loi : cliquez ici
   
   

   On peut constituer un intervalle de confiance bilatéral d'une moyenne qui s'écrit :
   = moyenne arithmétique de l'échantillon s = écart-type de l'échantillon = t table = valeur du t de Student pour la valeur de =n-1 et le risque choisi = risque choisi (il est le plus souvent égal à 5%)

   
   
   
5. Exemple d'application
   
   1. Construction d'un intervalle de confiance de la moyenne
      
      Afin d'estimer la moyenne d'une population, on construit un intervalle de confiance autour de la valeur expérimentale de la moyenne ().
      
      La valeur de t est lue dans la table pour :
      - un risque choisi. Pour un risque bilatéral de 5%, on lit la valeur de t dans la colonne 0,975
      - un nombre de degrés de liberté (nu) (DDL) égal à n-1 à cause de l'estimation de la moyenne m par lors du calcul de l'écart-type s.
      
      Graphique de la loi : cliquez ici
      
      
   2. Calculs pratiques
      
      On prélève un échantillon de taille n par tirage aléatoire dans la population.
      On calcul :
      
      La valeur de t est choisie dans la table de Student. Elle permet de construire l'intervalle de confiance de la moyenne m.
      
      
   3. Exemple
      
      On a prélevé l'échantillon suivant concernant des teneurs de principe actif (valeur en %)

   40,39 - 42,93 - 4078 - 39,71 - 40,16 - 40,65 - 39,53 - 41,41 - 43,95 - 41,99

   Déterminer l'intervalle de confiance de la moyenne m ( = 5%)

   n = 10	= 41,15%	s = 1,4307%
   =2,262 pour /2=2,5% et pour =9
   D'où		et

   Graphique de la loi : cliquez ici