Les tests de Student sont utilisés dans le cadre des tests relatifs à la moyenne des échantillons de petite taille. Dans le cas où les échantillons sont de grande taille (n>30), on utilise souvent des approximations par des lois normales.

1 Le test t.
Le test t est relatif à la comparaison de la moyenne d'une population à une valeur fixe par l'intermédiaire de l'analyse d'un échantillon issu de cette population.

1 - 1 Mode opératoire.

a - Emettre l'hypothèse Ho:
II n'y a pas d'écart significatif entre la moyenne m d'une population dont est issu l'échantillon prélevé et une valeur fixe xN.

b - Définir le risque (généralement 5 %) et déterminer la valeur de ttable
t table est lue dans la table pour v = n - 1 et pour P = 0,975 (si a = 5 %)
Nota: le choix de P = 0,975 vient du fait que le test est bilatéral (0,025 de chaque côté).

c - Calculer la valeur t du test.

avec:

- n : taille de l'échantillon, - x : moyenne de l'échantillon, - s : écart-type de l'échantillon, - xN : valeur fixe.

Rappel :

d - Comparer t test et t table

si .......................................l'hypothèse Ho est acceptée

avec = n-1
Dans le cas contraire, l'hypothèse Ho est rejetée.

Nota: Si l'hypothèse est acceptée, on considère alors que la moyenne m de la population dont est issu l'échantillon testé n'est pas significativement différente de la valeur fixée xN .

1 - 2 Exemple.

On a prélevé l'échantillon suivant concernant des teneurs de principe actif (valeurs en %)

40,39 - 42,93 - 40,78 - 39,71 - 40,16 - 40.65 - 39,53 - 41,41 - 43,95 - 41,99

On a calculé: x = 41,15 % et s = 1,43078 %

a - Hypothèse Ho: il n'y a pas d'écart significatif entre m et la teneur nominale de 40 %

b - Choix du risque :

• le risque a bilatéral est de 5 %.
• le nombre de degrés de liberté (DDL) est de v = n - 1 = 10 - 1 = 9
• La valeur de t_table est donc de t0,975;9 = 2,262 et t 0,025;9 = - 0,262

c - Calcul de la valeur de t du test.

d - Comparaison de t _test et de t table

- 2,54 < - 2,262              (la valeur est en dehors de l'intervalle de confiance)

Conclusion: on rejette l'hypothèse Ho ce qui revient à admettre que la moyenne m de la population dont est issu l'échantillon, n'est pas égale à 40 % (= 5 %)

Schéma de la situation.

Nota: l'intervalle de confiance est formé autour de la moyenne de l'échantillon (41,15 %)

2 - Le test de Student
Exemple d'application à la comparaison des moyennes de deux échantillons.

2 - 1 Mode opératoire.

a - Emettre l'hypothèse Ho:

Il n'y a pas d'écart significatif entre la moyenne m1 d'une population repérée 1 et la moyenne m, d'une population repérée 2. Cela revient à choisir une valeur de différence égale D = 0.

Il est possible de fixer une autre valeur pour D ce qui reviendrait à tester si la différence de moyenne est significativement différente de D.

b - Définir le risque (généralement 5 %) et déterminer la valeur de t table

t _table est lue dans la table pour v = n₁ + n₂- 2 et pour P = 0,975 (si = 5 %)

Nota: le choix de P= 0,975 vient du fait que le test est bilatéral (0,025 de chaque côté).

c - Calculer la valeur t du test.

• On calcule tout d'abord l'écart-type des différences des moyennes d'échantillons :

Avec :

• ni : taille des échantillons
• xij : valeurs individuelles
• sd : écart-type des différences des échantillons
• Calcul de t _test : avec D=0

Attention: Ce test suppose que les deux variances sont égales. Il y a donc lieu de faire un test de comparaison des variances en préalable (test de Snedecor).

d - Comparer t _test et t table

Si ..................  ........................ l'hypothèse Ho est acceptée

avec = n - 1

Dans le cas contraire, l'hypothèse Ho est rejetée.

Nota: si l'hypothèse est acceptée, on considère que les moyennes des deux populations dont

sont issus les échantillons sont identiques ( = 5 %).

On a prélevé deux échantillons et l'on veut comparer les deux moyennes afin de vérifier s'ils peuvent être issus de la même population.

Vérification de l'égalité des variances (test de Snedecor)

a - Hypothèse Ho:

Il n'y a pas de différence significative entre les deux variances

b - Définir le risque :

On choisit = 5 % d'où ^Ftable = F0,95;9;9 = 3,18

c - Calculer la valeur du test:

On calcule le quotient de la plus grande des deux variances sur la plus petite:

F_test = 1,3692 / 0,7099 = 1,9286

d - Comparer F _test et F _table

1,9286 < 3,18

L'hypothèse Ho est acceptée.

On peut donc conclure à l'égalité des variances des deux populations.

Cette vérification concernant l'égalité des variances étant réalisée, on peut comparer les valeurs des moyennes des échantillons.

a - Emettre l'hypothèse Ho:
Il n'y a pas d'écart significatif entre les moyennes des deux populations ( = 5 %)

Cela revient à choisir une valeur de différence égale D = 0.
Il est possible de fixer une autre valeur pour D ce qui reviendrait à tester si la différence des moyennes est significativement différente de D.

b - Choix du risque
Le risque bilatéral est de 5 %.
Le nombre de degrés de liberté (DDL) est v = 10 + 10 - 2 = 18
La valeur de t table est donc t0,975;18 = 2,101 et t0,025;18= - 2,101

c - Calculer la valeur t du test.

On calcule tout d'abord l'écart-type des différences des moyennes d'échantillons:

d - Comparaison de F _test et F _table

- 2,101 < 0,38 < 2,101

Conclusion: on accepte l'hypothèse Ho ce qui revient à admettre que les deux échantillons sont issus de deux populations dont les moyennes sont égales. On peut aussi considérer qu'ils sont issus de la même population puisque l'on a aussi vérifié que les variances étaient égales.

Schéma de la situation.